בניית תיק השקעות אופטימלי ממספר מוגבל של נכסים, דר' דורון פלג 

לתורת המימון המודרנית חסרונות אחדים, כשהמטריד מכולם הינו ששני המודלים הבסיסיים שהיא מציגה לבנית תיק נכסים אופטימלי בסיסי - מודל "תוחלת ~ שונות" ו"מודל השוק" שהינם כה משכנעים תיאורטית, מאכזבים במבחן התוצאה (הישום). תאורטית, מודל להקצאת נכסים אופטימלית, אמור היה להיות כלי זמין לכל מנהל של תיקי השקעות. בפועל, מנהלי תיקים נוכחו לדעת כי המודלים שלעיל קשים לישום והתוצאות המתקבלות מציעות תיקים לא הגיונים.  מודל "תוחלת – שונות" ו"מודל השוק", מביאים למסקנה כי על משקיע להחזיק תיק מבוזר היטב, או לחילופין, צירוף לינארי של נכס חסר סיכון ושל תיק השוק.

בהגדרה, תיק השוק אמור לכלול את כל אפשרויות ההשקעה הקימות בכל העולם, דבר שאיננו בר ביצוע באופן מעשי. ניתן אמנם לבצע קירוב של תיק השוק באמצעות מדדים מסוגים שונים, כגון: SP500, עבור תיק השקעות אמריקאי, או ממוצע משוקלל של מדדים בינלאומיים, כאשר תיק ההשקעות בנוי מנכסים בינלאומיים. בתהליך ההקצאה של תיק השקעות מעשי, משקיעים מעדיפים לבנות את תיק ההשקעות הפרטי שלהם ממספר מוגבל של סוגי נכסים (תעשיה, מדינות ...וכד'), בצורה ישירה במניות / אג"ח, או על ידי תעודות סל. לכן, הנחת היסוד שתיק ההשקעות מבוזר היטב אינה מתקיימת, ומדד הסיכון על פי מודל השוק עבור תיק ההשקעות  שהינו ממוצע משוקלל של מדדי הסיכון של הנכסים , שכה נוח לשימוש, אינו ישים יותר להערכת הסיכון של תיק ההשקעות. בהעדר פיתרון המבוסס על "מודל השוק", ניסו מנהלי התיקים את מודל "תוחלת שונות" (שבו השונות של תיק ההשקעות  או הנכס  הינו המדד לסיכון), אשר התגלה כרגיש ביותר לפרמטרים עליהם הוא מבוסס, ובמיוחד לתוחלת התשואה החזויה לעתיד. רגישות המודל בולטת במיוחד כאשר מנסים לשנות את תוחלת התשואה הצפויה לאחד או יותר מהנכסים, בתיק שהיה בנוי מלתחילה בצורה מאוזנת, והמורכב מנכסים שהינם בעלי קורלציה גבוהה ביניהם.

ברוב הפקולטות למנהל עסקים בעולם, מלמדים את האפליקציה Solver שבאקסל כמכשיר עבור הקצאת נכסים אופטימלית בתיק השקעות. האפליקציה Solver מאפשרת לפתור בעיות אופטימיזציה של מערכת מישוואות לינאריות, או לא לינאריות המכילות עד 200 משתני החלטה (במיקרה שלנו: המשקלים  של כל אחד מהנכסים השונים שבתיק ההשקעות). על משתני ההחלטה ניתן להטיל עד 100 מגבלות מורכבות כגון   (דהינו, סכום משקלי הנכסים שווה אחד), ועד 400 מגבלות ישירות, כגון: גבול עליון / תחתון עבור משתנה החלטה .  במילים אחרות, כל מה שנידרש המשקיע לעשות הוא להגדיר את משוואות התשואה הצפויה על תיק ההשקעה ומידת השונות שלה, ולהשאיר ל- Solver למצוא את המשקלים האופטימלים של הנכסים תחת הדרישה למיקסום תשואת התיק עבור כל שונות שהיא. היות ומשקלי הנכסים רגישים ביותר לתוחלת התשואה החזויה על הנכסים, נהגו בעבר מנהלי תיקים להטיל על Solver מגבלות חמורות, הן לגבי מכירה בחסר והן לגבי הגבול העליון לאחזקה. שיטת התמודדות אחרת היתה להגדיר הוצאות עיסקה (קניה / מכירה) גבוהות, אשר גם באמצעותן ניתן היה לקבל תיקים מאוזנים על ידי התערבות מלאכותית במודל. אם המגבלות הינן שרירותיות, אינן נובעות מטעמים אמיתיים, וכל מטרתן היא לקבל תיק ש"ניראה מאוזן" בלבד, הרי ברור כי הן משקפות בעיה המובנית במודל. לפיכך, אין כל הצדקה לקבל את הפיתרון של הטלת המיגבלות ויש להמנע ממנו. 

הבעיה שלעיל הביאה להתפתחות שתי גישות:

הגישה הראשונה: הטכנית, שאפה לקבל מתוך המדגמים ההיסטוריים פרמטרים טובים יותר עבור המודל באמצעות שימוש בטכניקות הערכה סטטיסטיות מתקדמות, כדוגמת טכניקות "כיווץ" לקבלת מטריצת ה'שונות - שונות הדדית'.  הגישה הטכנית הצליחה לשפר, בשוליים, את התוצאה שהתקבלה עבור ניהול תיקי השקעה אך לא פתרה אותה.

הגישה השניה: התאורטית, פותחה על ידי  Black and Litterman (בלק – ליטרמן) במסגרת עבודתם בגולדמן סקס. גולדמן זקס, המנהלת תיקי השקעות בכל העולם בטריליוני דולרים, נזקקה למודל השקעות מובנה של נכסים בין לאומיים. מודל בלק - ליטרמן משיג מטרות אלה על ידי שילוב תהליך החיזוי של 'מודל השוק', ביחד עם מודל 'תוחלת ~ שונות'. בנוסף, לראשונה בהיסטוריה של מודלים פיננסיים, הוצגה שיטה המאפשרת חריגה מהמודלים של שיווי מישקל כללי בשוק, ושילוב של דעותיו האישיות של המשקיע לגבי התשואות הצפויות על הנכסים השונים הבונים את התיק.

המודל לא נכלל עד כה בסיפרי לימוד בצורה מפורטת, שכן בלק – ליטרמן עצמם, הסתפקו במאמריהם בהצגת הקונספט, המשוואות הבסיסיות והתוצאה הסופית בלבד. בהצגתם את המודל אין פירוט של הרקע המתמטי או השיטה בה ניגזרו התוצאות הסופיות. יתר על כן, הצגתם חסרה פרטים מהותיים שבלעדיהם לא ניתן לישם את המודל בצורה פרקטית באמצעות אקסל על מחשבו האישי של המשקיע. גם הפרמטרים שעליו להזין לגליון הישומים של המודל מוזכרים בשם כותרת, ולא כולם מוגדרים בצורה שניתן לחשבם בפועל. לדוגמה, בספר שכתב ליטרמן (עמוד 77)      Modern Investment Management: An Equilibrium Approach, מסביר ליטרמן, כי "... המשקיע נידרש לא רק לציין את תוחלת התשואה שהוא צופה לנכס... אלא גם את רמת ביטחונו בתחזיתו, שהיא למעשה סטיית התקן סביב תוחלת התשואה". השונות  של הדעות האישיות, פרמטר חשוב בבסיס משואוות המודל, נמצא ביחס הפוך לרמת הביטחון של המשקיע בדעותיו. בלק – ליטרמן, אינם מספקים במאמריהם דרך אינטואיטיבית המקשרת כמותית בין רמת הביטחון - והשונות, והם משאירים למשקיע "לחשב" את השונות של דעותיו. המאמרים הרבים שפורסמו בעיקבות הצגת מודל בלק – ליטרמן ניסו להשלים את החלק המתמטי שבעזרתו התקבלו התוצאות הסופיות של המודל, וזאת כצעד ראשוני והכרחי להבנה אינטואיטיבית של אותם פרמטרים שהוגדרו במודל. ההבנה האינטואיטבית חשובה על מנת למצוא דרך להערכה כמותית של אותם פרמטרים אם ברצוננו להכניסם לתבנית האקסל שנבנה בעצמנו על המחשב האישי שלנו.

מחקרים רבים הראו כי באופן סטטיסטי, לא ניתן למצוא מעריך (מנבא) טוב יותר לתשואות הצפויות בעתיד , מאשר זה המחושב על מדגם היסטורי, בהנחה של שיווי משקל. מכאן, משקיע הגיוני הפועל בגישה חישובית / כמותית על ידי אופטימיזציה בגישת 'תוחלת ~ שונות', אמור להתחיל בתהליך הקצאת הנכסים בתיק (בחירת משקליהם) בהסתמכו על תוחלת ושונות התשואות החזויות שלהם, בשיווי משקל של השוק. רק לאחר מכן רשאי הוא להוסיף את דעותיו האישיות לגבי התשואות העתידיות. המשקיע מחפש מעריכים (מנבאים) חדשים "ניטרליים", במובן זה שהם יתנו לו תוצאות הגיונית בתהליך ביצוע בניית התיק. לכן, כאשר אנו מוסיפים דעות אישיות, עלינו לדרוש שהמעריכים (מנבאים) המתוקנים (על ידי הדעות האישיות) עבור התשואות העתידיות יהיו בקורלציה גבוהה עם המעריכים (מנבאים) של השוק בשיווי משקל המבוססים על המדגם ההסטורי. כאשר אנו מאמצים גישה זו הרי שמראש עלינו לנסח את דעותינו האישיות יחסית לתשואה בשיווי משקל. בנסיוננו למצוא את המעריך (מנבא) המאוחד עבור התשואות העתידיות עלינו לקחת בחשבון שני מקורות נפרדים למידע: את תוחלת התשואות המתבסס על על המידע ההיסטורי מהמדגם, ואת הדעות האישיות של המשקיע לגבי התשואות הצפויות. שני מקורות המידע עבור התשואות העתידיות שלעיל אינם וודאיים,  ועל כן ניתן לבטא אותם לכל היותר באמצעות התפלגות הסתברות. מודל בלק ליטרמן הינו מודל מתמטי העושה שימוש בסטטיסטיקה בייסיאנית להתוויית התהליך, המשלב את שני מקורות האינפורמציה שלעיל. זאת, על מנת ליצר מעריך (מנבא), מאוחד חדש  עבור תוחלת התשואות הצפויות לעתיד, ואת מטריצת השונות – שונות הדדית המשותפת שלהן.

בסטטיסטיקה בסיסית, אנו מגדירים הסתברות במובן של "אחוז המופעים במספר רב של ניסויים / אירועים". בגישה של סטטיסטיקה בייסיאנית אנו מבינים הסתברות כ- "מדד לשיעור הביטחון במידע". בעוד שבסטטיסטיקה בסיסית, היפותזה בדרך כלל נידחית או לא נידחית, ללא שנייחס לה הסתברות כלשהיא, בגישה הבייסיאנית אנו מיחסים להיפותזה (דעה אישית), הסתברות. מכאן, גישת הסטטיסטיקה הבייסיאנית מספקת לנו את מערכת הפרוצדורות לחישובים הנדרשים לנו לבנית מודל בלק-ליטרמן.

עובדת היותו של המודל כה מורכב גרמה, כפי הנראה, לכך שהמודל לא הוצג עד כה כבצורה מפורטת בשום ספר בתורת המימון. עובדה זו בלתי מתקבלת על הדעת, היות ואיני מכיר כל תחום אחר שמוכן היה לקבל את הרעיון שבוגריו האקדמים, כמו גם מנהלי תיקים בפועל, לא יהיו מסוגלים לישם בפועל את המודלים שלמדו. בוגרי MBA ומנהלי תיקים בפועל, צריכים ומסוגלים להבין את מודל בלק – ליטרמן באופן מקיף ומלא, המאפשר את יישומו  הלכה למעשה. הספר "מודלים בסיסיים בתורת המימון" שנכתב בעברית על ידי דר' דורון פלג, מציג בפעם הראשונה בהסטוריה את הפיתוח המפורט של המודל, כולל כל הרקע המתמטי הנדרש להבנתו בצורה שוטפת וברורה, וכן תבניות האקסל הנדרשות למימושו על מחשבו האישי של המשקיע. הספר, בשפה האנגלית, יצא לאור על ידי אחת מהוצאות הספרים המובילות בעולם עד סוף 2013, ובשפות נוספות, סינית – שנה אחר כך , ואחרות - בתוך חמש שנים.