מתמטיקה והוראה-מכון "בינה"-האתר המתמטי של רינה ברקן מציג:
מחקר במתמטיקה:
"תפיסות מוטעות בהסתברות אצל ילדים בגילאי 12 - 14 "
עורכות המחקר: רינה ברקן ומיכל גולן
(תמצית)
1. אוכלוסייה נחקרת:
30 תלמידי כיתות ו', הקבצה א', באזור מבוסס(משגב).
30 תלמידי כיתות ח', הקבצה א', בחט"ב בעיירת-פיתוח(מגדל העמק).
שתי הקבוצות-לפני לימוד פורמאלי של הנושא.
2 . כלי-המחקר-שאלון
מטרתו - לבדוק את ידיעותיהם ותפיסותיהם של הנשאלים לגבי מושגים הסתברבות לפני לימוד פורמאלי.
3. מבנה השאלון:
תחום בדיקה
5 שאלות, הבודקות את ידיעות התלמידים בנושא חזוי מאורעות.
8 שאלות, הבודקות את הערכת הסיכויים לגבי התרחשות של מאורע מסוים.
5 שאלות,הבודקות מדידת-סיכויים לגבי התרחשות של מאורע מסוים.
בנוסף למדידה , נדרש התלמיד להסיק מסקנות על סמך המדידות.
4 שאלות, הבודקות מדידת-סיכויים וחשובים הסתברותיים של אירועים המתרחשים מספר פעמים.
4 שאלות, הבודקות את התייחסות התלמידים לגבי ממצא הסתברותי במציאות נתונה.
4. שקול-דעת בבניית-השאלון:
השאלון בנוי מקטגוריות שונות, כאשר כל קטגוריה מכילה קבוצת-שאלות.
השאלות מורכבות ממאורעות פשוטים הידועים מניסיון-חיים או מלמוד במדעי-הטבע עד למאורעות מורכבים יותר, הדורשים מושג-מה בחשיבה הסתברותית.
במבנה כזה, של שאלות מדורגות, רצינו לבדוק איך התלמידים משתמשים באינטואיציה ובידע קודם (ידע שאינו קשור להסתברות ישירות) בפתרון שאלות בהסתברות. השאלון נבנה מן הקל אל הכבד כאשר בשאלות הראשונות ניתן על-סמך אינטואיציה או ידע קודם (למוד, צפייה בטלוויזיה, קריאה וכו') להגיע למסקנה נכונה ובשאלות האחרונות נדרש לשם-כך חישוב הסתברותי. במקרה זה שימוש באינטואיציה טבעית דווקא יכול להטעות ולהוביל למסקנה שגויה.
5. אופן השימוש בכלי-המחקר:
התלמידים קבלו את השאלון ללא כל הכנה מוקדמת והתבקשו לענות לפי הבנתם וידיעותיהם.
הילדים לא קבלו עזרה מצד המורה ונאמר להם שהשאלונים לא נושאי ציון, כדי לתת אפשרות לענות ללא לחצים.
6.דיון - הגישות שבאו לידי ביטוי בתשובות התלמידים
בעקבות ניתוח שאלון גילינו, שהתלמידים משתמשים במספר גישות כדי לקבוע עמדתם בנושאים הסתברותיים. גישות, אשר חלקן חופף לגישות שהופיעו במחקרים.
א. הגישה הרלוונטית: גישה הנובעת מתוך ניסיון-חיים וידע קודם רלוונטי.
שאלה 4:
תן דוגמא למקרה, שניתן לחזות מראש את התוצאה.
דוגמא_________________________________________________________________
התלמידים נתנו דוגמאות נכונות הנחלקות ל- 2 קטגוריות:
א. נתנו דוגמאות שאין עליהן עוררין בכדור הארץ והוא חוק הגרביטציה, חוק אותו לומד הילד בביתו ובביה"ס."כשקופצים - ננחת תמיד על האדמה"."תפוח תמיד נופל - חוק הגרביטציה",
ב. נתנו דוגמאות של מאורעות בהן התנסה בחיי יומיום:
"אם מורידים את המתג של המנורה - יכבה האור"
"תוקעים סיכה בבלון - הבלון יתפוצץ"
"תוצאה של ערבוב מים ושמן - שמן צף על מים"
"זורקים מטבע, בטוח שתיפול על אחד מ-2 הצדדים".
" ברור לנו, שברזל נמשך למגנט", "ראינו זאת", "בדקתי..."
"מקרבים ניר לאש - הניר יישרף"
ב. גישה רגשית: גישה הנובעת מתוך מעורבות רגשית או מתוך משאלות-לב.
שאלה 7:
מה הסיכויים להולדת בן או בת במשפחה , בה יש כבר 3 בנים.
הסבר______________________________________________________________
רב התלמידים שענו נכון (1/2), השתמשו בגישה ההסתברותית.
אלה שטעו- נקטו בגישה הרגשית והנימוקים היו:
"אם יש במשפחה 3 בנים, רב הסיכויים שתיוולד בת, כי זה מוגזם! כולם מחכים לבת".
או בגישה הרלוונטית, מתוך ניסיון חייהם " רב הסיכויים שיולד עוד בן, אני רוצה בת אבל יודע , שכל פעם נולד לנו עוד בן".
ג. גישה של הערכה טבעית: גישה הנובעת מפרוש אישי להסתברות אשר נקבע בהתאם לדרגת האמונה שיש לאדם שמאורע מסוים יקרה.
שאלה 12:
אני מכיר בן-אדם שקרו לו כל הדברים הבאים ביום אחד:
קודם-כל, בנו הרס טוטלית את רכב המשפחה בתאונה ונפצע קשה.
אח"כ הוא אחר לעבודה וכמעט פוטר. אחה"צ קבל אוכל מורעל במסעדת אוכל-מהיר ובערב קבל הודעה שאביו נפטר.
איך תסביר את התרחשותם של כל האסונות האלה באותו יום?
הסבר__________________________________________________________________
רב התלמידים הסבירו את כל האסונות הלל כחוסר מזל גרידא. יכולים לקרות כאלו מקרים אם כי הם נדירים.
שליש מן התלמידים, קשרו את האירועים באופן הגיוני ואף השלימו פערים כדי שהספור יהיה מושלם לדוגמא:
"בנו הרס לו את המכונית והוא נפצע. הוא בטח היה בהלם ונסע לבית -חולים, וגם נסע לראות את האוטו ורק אחר-כך הגיע לעבודה.ברור שהוא אחר. כמעט פטרו אותו בגלל זה. אחר הצהריים גילה, כי לא אכל מן הבוקר .הלך למסעדת אוכל-מהיר ואכל -במקרה אוכל היה מורעל/מקולקל. אולי אביו אכל אתו במסעדה זו, מן האוכל המקולקל ומת".
התלמידים, שהסבירו את התופעות כחוסר מזל מקרי, השתמשו בגישת התוצאה.
אלו שהתאמצו ויצרו קשר סיבתי בין האירועים כדי לפרש את המצב, השתמשו בהערכה טבעית.
ד.גישה הסתברותית: גישה הנובעת מתוך שימוש בחשובים הסתברותיים (לא תמיד בצורה הנכונה) ובספרות מופיעה כ"גישה נורמטיבית" (קונולד "חוסר עקביות בטעוני תלמידים לגבי הסתברות", 1993).
שאלה 15:
מורה בוחר 2 תלמידים.
לתלמיד א' נותן 7 מעטפות אחידות. בכל מעטפה יש פתק. ב- 2 מעטפות יש פתק עליו כתוב "זוכה" ובשאר המעטפות יש פתק ריק. התלמיד מגריל מעטפה אחת.
אם הגריל מעטפה עם פתק "זוכה" הוא מקבל פרס.
לתלמיד ב' נותן המורה 7 מעטפות אחידות. בכל מעטפה יש פתק. בארבע מעטפות יש פתק עליו כתובת "זוכה" ובשאר המעטפות יש פתק ריק. התלמיד מגריל מעטפה אחת. אם הגריל מעטפה עם פתק "זוכה" הוא מקבל פרס.
א. מי היית מעדיף להיות: תלמיד א' או תלמיד ב'? _____
נמק: ____________________________________
ב. כמה מעטפות "זוכה" יכול לקבל תלמיד א' מתוך כלל המעטפות?___________
ג. כמה מעטפות "זוכה" יכול לקבל תלמיד ב' מתוך כלל המעטפות? ___________
ד. מה הסיכוי של תלמיד א' לזכות? _____________
ה. מה הסיכוי של תלמיד ב' לזכות? _____________
100% - מכלל המשיבים ענו בסעיף א' כי מעדיפים להיות תלמיד ב' , ונמקו דעתם באמצעות חשיבה הסתברותית. לתלמיד א' יש סיכוי של 2/7 לזכות ולתלמיד ב' יש סיכוי של 4/7 לזכות.
ה. גישת התוצאה: גישה אשר מבוססת על תוצאה של כל ניסיון בודד, ללא תלות בקודמו.
בשאלה 10:
לקובייה יש שש פאות. חמש מהן שחורות ופאה אחת לבנה.
נזרוק את הקובייה 6 פעמים. מה הסיכויים שנקבל יותר בכל הטלה בודדת - לבן או שחור?
הסבר______________________________________________________________
התלמידים התבקשו להעריך סבירות של תוצאה מסוימת בזריקת קובייה 6 פעמים. למרבה הפלא, הגישה הרווחת הייתה גישת התוצאה, שהתבססה על גישה הסתברותית. הנשאלים ציינו, כי בשל העובדה שיש סיכוי של 5/6 לקבל צבע שחור ורק 1/6 לקבל לבן, סביר יותר שנקבל צבע שחור בכל הטלה בודדת.(כלומר סה"כ שש פעמים שחור).
ו.גישה ייצוגית-מדגמית: גישה הטוענת כי הסיכוי שמאורע מסוים יתרחש מוערך ע"י התאמתו לאכלוסיה מוכרת.
שאלה 6:
סמן, איזה מקרה יהיה בעל סיכוי גדול יותר להתגשם:
א. נפגוש איש שגובהו 2.20 מ'.
ב. נפגוש איש שגובהו 1.80 מ'.
הסבר ____________________________________________________
השאלה עוסקת בהערכת סיכויים לגבי מאורע בו נפגוש אדם בגובה מסוים.
בשאלון ,רב המשיבים השתמשו בגישה ייצוגית-מדגמית, לדוגמא:
"יש יותר אנשים שגובהם 1.80 מ' מאשר 2.20 מ'"
" אין הרבה אנשים שגובהם 2.20 מ'".
"1.80 מ' זה הגובה הממוצע".
"ניתן לראות אנשים גבוהים בכדורסל".
ז. גישת הזמינות-נגישות: בגישה זו שכיחות של אירוע קשורה לקלות או לקושי במציאת מקרים רלוונטיים לאירוע.
שאלה 11:
היכן יש יותר סיכוי למצוא את האות ר' ,בתחילת מלה או בתוכה?
הסבר__________________________________________________________________
כל התלמידים נקטו בגישת הזמינות - נגישות , וטענו כי יש יותר מילים, שמתחילות באות ר' וזאת, כי נתקלו בקושי למצוא מילים בהן האות ר נמצאת בתוך המילה, אך קל היה למצוא מילים שמתחילות בר'.
7. לסכום
במחקרים, שנעשו בנושא הסתברות ואשר הובאו בקצור בעבודה, מצאו שלרוב התלמידים תפיסות משלהם לגבי מושגים בהסתברות עוד לפני שעברו למידה פורמאלית. אף על פי ,שרוב המחקרים עסקו בתלמידי קולג' ובאנשים מבוגרים ואילו אנו עסקנו בתלמידי כתה ו' ו-ח', הסתבר לנו שכבר בגיל הצעיר לילדים מושגים משלהם.
אחת הסיבות העיקריות, שההסתברות הוא נושא קשה ללמידה היא, שהתלמיד מביא לכתה מגוון של אמונות ונקודות השקפה לגבי סיכוי. אנו דוגלות בכך, שתפיסתו של התלמיד חייבת להיות הבסיס בתהליך הלמידה ועלינו לזהות ולהבין אמונות אלה, כדי שנוכל לעמת אותן עם תיאוריות הסתברותיות. אנו מודעות לעובדה, שתוכנית הלמודים אינה יכולה לכלול הכול, לכן חשוב למורים למתמטיקה, המלמדים הסתברות, להתוודע למגוון הרעיונות של התלמידים ולמקור התרבותי ממנו נובעות ולפתח את יכולתם לפרשם נכון. כל זאת, כדי לעזור לתלמיד להבין את הסתירה בין אמונותיו להסתברות נורמטיבית.
מחקר במתמטיקה:
"תפיסות מוטעות בהסתברות אצל ילדים בגילאי 12 - 14 "
עורכות המחקר: רינה ברקן ומיכל גולן
(תמצית)
1. אוכלוסייה נחקרת:
30 תלמידי כיתות ו', הקבצה א', באזור מבוסס(משגב).
30 תלמידי כיתות ח', הקבצה א', בחט"ב בעיירת-פיתוח(מגדל העמק).
שתי הקבוצות-לפני לימוד פורמאלי של הנושא.
2 . כלי-המחקר-שאלון
מטרתו - לבדוק את ידיעותיהם ותפיסותיהם של הנשאלים לגבי מושגים הסתברבות לפני לימוד פורמאלי.
3. מבנה השאלון:
תחום בדיקה
5 שאלות, הבודקות את ידיעות התלמידים בנושא חזוי מאורעות.
8 שאלות, הבודקות את הערכת הסיכויים לגבי התרחשות של מאורע מסוים.
5 שאלות,הבודקות מדידת-סיכויים לגבי התרחשות של מאורע מסוים.
בנוסף למדידה , נדרש התלמיד להסיק מסקנות על סמך המדידות.
4 שאלות, הבודקות מדידת-סיכויים וחשובים הסתברותיים של אירועים המתרחשים מספר פעמים.
4 שאלות, הבודקות את התייחסות התלמידים לגבי ממצא הסתברותי במציאות נתונה.
4. שקול-דעת בבניית-השאלון:
השאלון בנוי מקטגוריות שונות, כאשר כל קטגוריה מכילה קבוצת-שאלות.
השאלות מורכבות ממאורעות פשוטים הידועים מניסיון-חיים או מלמוד במדעי-הטבע עד למאורעות מורכבים יותר, הדורשים מושג-מה בחשיבה הסתברותית.
במבנה כזה, של שאלות מדורגות, רצינו לבדוק איך התלמידים משתמשים באינטואיציה ובידע קודם (ידע שאינו קשור להסתברות ישירות) בפתרון שאלות בהסתברות. השאלון נבנה מן הקל אל הכבד כאשר בשאלות הראשונות ניתן על-סמך אינטואיציה או ידע קודם (למוד, צפייה בטלוויזיה, קריאה וכו') להגיע למסקנה נכונה ובשאלות האחרונות נדרש לשם-כך חישוב הסתברותי. במקרה זה שימוש באינטואיציה טבעית דווקא יכול להטעות ולהוביל למסקנה שגויה.
5. אופן השימוש בכלי-המחקר:
התלמידים קבלו את השאלון ללא כל הכנה מוקדמת והתבקשו לענות לפי הבנתם וידיעותיהם.
הילדים לא קבלו עזרה מצד המורה ונאמר להם שהשאלונים לא נושאי ציון, כדי לתת אפשרות לענות ללא לחצים.
6.דיון - הגישות שבאו לידי ביטוי בתשובות התלמידים
בעקבות ניתוח שאלון גילינו, שהתלמידים משתמשים במספר גישות כדי לקבוע עמדתם בנושאים הסתברותיים. גישות, אשר חלקן חופף לגישות שהופיעו במחקרים.
א. הגישה הרלוונטית: גישה הנובעת מתוך ניסיון-חיים וידע קודם רלוונטי.
שאלה 4:
תן דוגמא למקרה, שניתן לחזות מראש את התוצאה.
דוגמא_________________________________________________________________
התלמידים נתנו דוגמאות נכונות הנחלקות ל- 2 קטגוריות:
א. נתנו דוגמאות שאין עליהן עוררין בכדור הארץ והוא חוק הגרביטציה, חוק אותו לומד הילד בביתו ובביה"ס."כשקופצים - ננחת תמיד על האדמה"."תפוח תמיד נופל - חוק הגרביטציה",
ב. נתנו דוגמאות של מאורעות בהן התנסה בחיי יומיום:
"אם מורידים את המתג של המנורה - יכבה האור"
"תוקעים סיכה בבלון - הבלון יתפוצץ"
"תוצאה של ערבוב מים ושמן - שמן צף על מים"
"זורקים מטבע, בטוח שתיפול על אחד מ-2 הצדדים".
" ברור לנו, שברזל נמשך למגנט", "ראינו זאת", "בדקתי..."
"מקרבים ניר לאש - הניר יישרף"
ב. גישה רגשית: גישה הנובעת מתוך מעורבות רגשית או מתוך משאלות-לב.
שאלה 7:
מה הסיכויים להולדת בן או בת במשפחה , בה יש כבר 3 בנים.
הסבר______________________________________________________________
רב התלמידים שענו נכון (1/2), השתמשו בגישה ההסתברותית.
אלה שטעו- נקטו בגישה הרגשית והנימוקים היו:
"אם יש במשפחה 3 בנים, רב הסיכויים שתיוולד בת, כי זה מוגזם! כולם מחכים לבת".
או בגישה הרלוונטית, מתוך ניסיון חייהם " רב הסיכויים שיולד עוד בן, אני רוצה בת אבל יודע , שכל פעם נולד לנו עוד בן".
ג. גישה של הערכה טבעית: גישה הנובעת מפרוש אישי להסתברות אשר נקבע בהתאם לדרגת האמונה שיש לאדם שמאורע מסוים יקרה.
שאלה 12:
אני מכיר בן-אדם שקרו לו כל הדברים הבאים ביום אחד:
קודם-כל, בנו הרס טוטלית את רכב המשפחה בתאונה ונפצע קשה.
אח"כ הוא אחר לעבודה וכמעט פוטר. אחה"צ קבל אוכל מורעל במסעדת אוכל-מהיר ובערב קבל הודעה שאביו נפטר.
איך תסביר את התרחשותם של כל האסונות האלה באותו יום?
הסבר__________________________________________________________________
רב התלמידים הסבירו את כל האסונות הלל כחוסר מזל גרידא. יכולים לקרות כאלו מקרים אם כי הם נדירים.
שליש מן התלמידים, קשרו את האירועים באופן הגיוני ואף השלימו פערים כדי שהספור יהיה מושלם לדוגמא:
"בנו הרס לו את המכונית והוא נפצע. הוא בטח היה בהלם ונסע לבית -חולים, וגם נסע לראות את האוטו ורק אחר-כך הגיע לעבודה.ברור שהוא אחר. כמעט פטרו אותו בגלל זה. אחר הצהריים גילה, כי לא אכל מן הבוקר .הלך למסעדת אוכל-מהיר ואכל -במקרה אוכל היה מורעל/מקולקל. אולי אביו אכל אתו במסעדה זו, מן האוכל המקולקל ומת".
התלמידים, שהסבירו את התופעות כחוסר מזל מקרי, השתמשו בגישת התוצאה.
אלו שהתאמצו ויצרו קשר סיבתי בין האירועים כדי לפרש את המצב, השתמשו בהערכה טבעית.
ד.גישה הסתברותית: גישה הנובעת מתוך שימוש בחשובים הסתברותיים (לא תמיד בצורה הנכונה) ובספרות מופיעה כ"גישה נורמטיבית" (קונולד "חוסר עקביות בטעוני תלמידים לגבי הסתברות", 1993).
שאלה 15:
מורה בוחר 2 תלמידים.
לתלמיד א' נותן 7 מעטפות אחידות. בכל מעטפה יש פתק. ב- 2 מעטפות יש פתק עליו כתוב "זוכה" ובשאר המעטפות יש פתק ריק. התלמיד מגריל מעטפה אחת.
אם הגריל מעטפה עם פתק "זוכה" הוא מקבל פרס.
לתלמיד ב' נותן המורה 7 מעטפות אחידות. בכל מעטפה יש פתק. בארבע מעטפות יש פתק עליו כתובת "זוכה" ובשאר המעטפות יש פתק ריק. התלמיד מגריל מעטפה אחת. אם הגריל מעטפה עם פתק "זוכה" הוא מקבל פרס.
א. מי היית מעדיף להיות: תלמיד א' או תלמיד ב'? _____
נמק: ____________________________________
ב. כמה מעטפות "זוכה" יכול לקבל תלמיד א' מתוך כלל המעטפות?___________
ג. כמה מעטפות "זוכה" יכול לקבל תלמיד ב' מתוך כלל המעטפות? ___________
ד. מה הסיכוי של תלמיד א' לזכות? _____________
ה. מה הסיכוי של תלמיד ב' לזכות? _____________
100% - מכלל המשיבים ענו בסעיף א' כי מעדיפים להיות תלמיד ב' , ונמקו דעתם באמצעות חשיבה הסתברותית. לתלמיד א' יש סיכוי של 2/7 לזכות ולתלמיד ב' יש סיכוי של 4/7 לזכות.
ה. גישת התוצאה: גישה אשר מבוססת על תוצאה של כל ניסיון בודד, ללא תלות בקודמו.
בשאלה 10:
לקובייה יש שש פאות. חמש מהן שחורות ופאה אחת לבנה.
נזרוק את הקובייה 6 פעמים. מה הסיכויים שנקבל יותר בכל הטלה בודדת - לבן או שחור?
הסבר______________________________________________________________
התלמידים התבקשו להעריך סבירות של תוצאה מסוימת בזריקת קובייה 6 פעמים. למרבה הפלא, הגישה הרווחת הייתה גישת התוצאה, שהתבססה על גישה הסתברותית. הנשאלים ציינו, כי בשל העובדה שיש סיכוי של 5/6 לקבל צבע שחור ורק 1/6 לקבל לבן, סביר יותר שנקבל צבע שחור בכל הטלה בודדת.(כלומר סה"כ שש פעמים שחור).
ו.גישה ייצוגית-מדגמית: גישה הטוענת כי הסיכוי שמאורע מסוים יתרחש מוערך ע"י התאמתו לאכלוסיה מוכרת.
שאלה 6:
סמן, איזה מקרה יהיה בעל סיכוי גדול יותר להתגשם:
א. נפגוש איש שגובהו 2.20 מ'.
ב. נפגוש איש שגובהו 1.80 מ'.
הסבר ____________________________________________________
השאלה עוסקת בהערכת סיכויים לגבי מאורע בו נפגוש אדם בגובה מסוים.
בשאלון ,רב המשיבים השתמשו בגישה ייצוגית-מדגמית, לדוגמא:
"יש יותר אנשים שגובהם 1.80 מ' מאשר 2.20 מ'"
" אין הרבה אנשים שגובהם 2.20 מ'".
"1.80 מ' זה הגובה הממוצע".
"ניתן לראות אנשים גבוהים בכדורסל".
ז. גישת הזמינות-נגישות: בגישה זו שכיחות של אירוע קשורה לקלות או לקושי במציאת מקרים רלוונטיים לאירוע.
שאלה 11:
היכן יש יותר סיכוי למצוא את האות ר' ,בתחילת מלה או בתוכה?
הסבר__________________________________________________________________
כל התלמידים נקטו בגישת הזמינות - נגישות , וטענו כי יש יותר מילים, שמתחילות באות ר' וזאת, כי נתקלו בקושי למצוא מילים בהן האות ר נמצאת בתוך המילה, אך קל היה למצוא מילים שמתחילות בר'.
7. לסכום
במחקרים, שנעשו בנושא הסתברות ואשר הובאו בקצור בעבודה, מצאו שלרוב התלמידים תפיסות משלהם לגבי מושגים בהסתברות עוד לפני שעברו למידה פורמאלית. אף על פי ,שרוב המחקרים עסקו בתלמידי קולג' ובאנשים מבוגרים ואילו אנו עסקנו בתלמידי כתה ו' ו-ח', הסתבר לנו שכבר בגיל הצעיר לילדים מושגים משלהם.
אחת הסיבות העיקריות, שההסתברות הוא נושא קשה ללמידה היא, שהתלמיד מביא לכתה מגוון של אמונות ונקודות השקפה לגבי סיכוי. אנו דוגלות בכך, שתפיסתו של התלמיד חייבת להיות הבסיס בתהליך הלמידה ועלינו לזהות ולהבין אמונות אלה, כדי שנוכל לעמת אותן עם תיאוריות הסתברותיות. אנו מודעות לעובדה, שתוכנית הלמודים אינה יכולה לכלול הכול, לכן חשוב למורים למתמטיקה, המלמדים הסתברות, להתוודע למגוון הרעיונות של התלמידים ולמקור התרבותי ממנו נובעות ולפתח את יכולתם לפרשם נכון. כל זאת, כדי לעזור לתלמיד להבין את הסתירה בין אמונותיו להסתברות נורמטיבית.
רינה ברקן הינה מורה למתמטיקה בתיכון שש-שנתי, בעלת תואר M.A, בעלת מכון בינה, מכון למתמטיקה והוראה. רינה פתחה שיטה ומודל להוראת מתמטיקה בגיל הרך ובחטיבת-ביניים "מתמטיקה ללא דמעות". על שיטה זו זכתה בפרס מטעם הטכניון ומלגה מטעם הקרן לעידוד יוזמות חינוכיות בשיתוף עם משרד החינוך. רינה ברקן הינה בעלת אתר וכתובתו: http://www.mbina.co.il
מיכל גולן הינה מורה למתמטיקה בחטיבת ביניים ועורכת דין.
מיכל גולן הינה מורה למתמטיקה בחטיבת ביניים ועורכת דין.
