חידת ה- 15 – הקדמה:
חידת ה- 15 נראית בערך כמו משהו כזה:
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
15 14 13
(רואים מיד למה קוראים לחידה זו חידת ה- 15).
חידת ה- 15 היא חידה מכנית. חידות מכניות הינן חידות אשר כדי לפתור אותן יש לתפעל חפץ כלשהו בעולם האמיתי, ולא רק בעולם המחשבה. מבין החידות המכניות, חידת ה- 15 היא חידה מסוג סידור. יש לסדר חפצים (ובמקרה זה – לוחיות) כדי לפתור אותה.
מהי חידה זו? ישנן 15 לוחיות (הממספרות במספרים 1-15) על גבי לוח בן 16 משבצות. בכל מהלך יש להעביר לוחית אחת אל המשבצת הפנויה. תמיד תהיה משבצת פנויה מכיוון שמספר המשבצות גדול מספר הלוחיות ב- 1. (מאותה סיבה, ניתן לבנות חידות כאלה עם לוחות של 9 משבצות, 25 משבצות וכן הלאה, ועם 8 לוחיות או 24 לוחיות בהתאמה).
מטרת חידת ה- 15 היא לסדר את הלוחיות כך שהמספרים יהיו לפי הסדר, משמאל לימין ואחר כך מלמעלה למטה. אך הפותר אינו יוצא ממצב שבו כל הלוחיות מסודרות, אלא הוא יוצא ממצב שבו הלוחיות מעורבבות. הפתרון עבור חידה זו אינו כל כך קל, גם אם נראה כך במבט ראשון.
ישנם כמה אנשים שטוענים שהם אלה שחיברו את חידת ה- 15. סם לויד הוא כנראה הטוען לכתר המפורסם ביותר, אך נטען גם שנויס פלמר צ'פמן או צ'רלס פיווי הן אלה שהמציאו את חידה זו.
כולנו מכירים חידות מסוג זה – בין אם מדובר בלוחות של מספרים ובין אם מדובר בציור שיש לסדרו. החל מגיל קטן חידה זו וגם חידות דומות לה גורמות לעניין רב.
אולם, מה היה קורה אילו הרבה אנשים היו מנסים לפתור ערבוב מסוים ולא מצליחים? האם הייתם חושדים שעובדים עליכם?
חידת ה- 15 – סידור בלתי פתיר:
החידונאי סם לויד הציע פרס למי שיפתור חידה זו כאשר רק המספרים 14 ו- 15 החליפו ביניהם מקום. כלומר, כאשר הלוח נראה כך:
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
14 15 13
או:
סם לויד כנראה ידע, או לפחות סבר, שלא יצטרך לתת את הפרס, מכיוון שאיש לא יצליח לפתור חידה זו. לא בטוח שהוא היה יכול להוכיח זאת מתמטית (מה שכן יודעים לעשות כיום), אך בטוח לפחות שהוא ניסה לפתור את החידה בעצמו. הצעת הפרס על ידי סם לויד גרמה להתעניינות עצומה בחידת ה- 15. אנשים מכל העולם ניסו לפתור את החידה ולא הצליחו. עד שמתמטיקאי הוכיח שאין לחידת ה- 15 בסידור המסוים הזה פתרון.
ההוכחה:
ניצור משתנה כלשהו בשם x (או ריבוע או גלגל, מה שבא לכם). נגדיר את x להיות החיבור (כלומר, פלוס) של:
1. מספר השורה שבה המשבצת הפנויה.
2. כמות הפרות הסדר הקיימות. הפרת סדר היא מצב שבו מספר בא לפני מספר כלשהו בלוח, למרות שהוא אמור להיות אחריו. למשל, כאשר המספר 2 בא אחרי (מבחינת הסידור הרצוי) המספר 3.
בכל מהלך, x שומר על הזוגיות שלו. כלומר, אם הוא היה זוגי, הוא נשאר זוגי ואם הוא היה אי זוגי, הוא נשאר אי זוגי. זאת משום שהוא קופץ במספרים זוגיים (2- ,0, 2 וכיו"ב). ממה הדבר נובע? יש שתי אפשרויות לתזוזה:
1. תזוזה של לוחית בצורה אופקית (ימינה או שמאלה). במקרה זה מספר השורה של המשבצת ללא לוחית נשאר אותו מספר. בנוסף, אין שינוי במספר הפרות הסדר מכיוון שהלוחית לא מחליפה מקום עם אף לוחית אחרת. לכן x לא משתנה.
2. תזוזה של לוחית בצורה אנכית. במקרה זה מספר השורה של המשבצת ללא לוחית משתנה (גדל או קטן) ב- 1 וכך גם x. בנוסף, הלוחית שהוזזה מחליפה מקום עם 3 לוחיות אחרות. לכן מדובר על שלושה שינויים נוספים. למשל, אם הלוחית שהוזזה הייתה אמורה להיות אחרי לוחית מסוימת ולאחר ההזזה היא לפני, מדובר בשינוי. אם כן, בסך הכל ישנם 4 שינויים ב- x. שינוי אחד מבטל שינוי קודם לו, או שמוסיף עליו. לכן x קטן ב- 4, קטן ב- 2, גדל ב- 2, או גדל ב- 4.
משום כך, x שומר על זוגיותו בכל מהלך.
ניתן לראות שבמצב המעורבב, כאשר המספר 14 בא אחרי המספר 15, x שווה ל- 5. זאת משום שהמשבצת ללא הלוחית נמצאת בשורה הרביעית וישנה הפרת סדר אחת (4+1). לעומת זאת, במצב המקורי, המסודר, המספר x שווה ל- 4. זאת משום שאין הפרות סדר (כל המספרים לפי הסדר) והמשבצת החסרה נמצאת בשורה מספר 4.
מכיוון שאי אפשר לשנות את x, בקפיצות זוגיות, כך שיעבור מ- 5 ל- 4, לא ניתן להגיע מהמצב המעורבב המסוים הזה למצב המסודר.
חידת ה- 15 – סיכום:
מטרת חידת ה- 15 היא להגיע ממצב מעורבב למצב מסודר על ידי הזזה של לוחיות. חידת ה- 15, וגם חידות לוחיות כמוה, בין אם מדובר בציור ובין אם מדובר במספרים, מהנות מאוד ויכולות להתאים לכל אחד. חידות אלה מתאימות לפתירה בבית ומתאימות גם לנסיעות.
לקריאה נוספת: החידונאים הגדולים בעולם >>
